Plígonos

Polígono Regular

Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:

• triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
• cuadrado: polígono regular de 4 lados,
• pentágono regular: polígono regular de 5,
• hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
• heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
• octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.

Ángulo interior El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula: (n-2) × 180° / n Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es: (8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135° Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°

Ángulo exterior

Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°.

Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interior

El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45°

El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es180°-120° = 60°

Diagonales

Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales (líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados).

El número de diagonales es n(n - 3) / 2.

Ejemplos:

• un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonales
• un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales

(Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).

En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360.

 EJERCICIOS RESUELTOS:

 EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales? 
2. El doble del perímetro de un polígono equivale numéricamente a la cantidad total de diagonales que se puede trazar. Si cada lado del polígono mide 1,75cm ¿Cuántos lados tiene el polígono? 
3. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados, más el número de ángulos internos, más el número de diagonales trazadas desde un vértice, es 15? 
4. ¿Cuántos lados tiene el polígono donde el número de lados excede en 2 al número de diagonales? 
5. En un polígono regular se cumple que la suma de medidas de los ángulos interiores es 6 veces la medida de un ángulo interior. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
6. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados más la mitad del número de vértices es igual al número de diagonales? 
7. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el que la suma de los ángulos internos es 8 veces la suma de los ángulos externos? 
8. Cinco ángulos de un hexágono miden 120º, 130º, 140º, 150º y 160º. Halla la medida del sexto ángulo. 
9. Calcula el número de diagonales de un polígono regular, sabiendo que la medida de cada ángulo externo equivale a un tercio de la medida de un ángulo interno.
10. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono convexo cuya suma de sus ángulos interiores es 3600º? 
11. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuyo número de diagonales es el quíntuple del número de sus vértices? 
12. ¿En qué polígono regular se cumple que la medida del ángulo exterior es el doble de la del ángulo interior? 
13. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular si la medida de su ángulo central es la mitad de la medida de su ángulo interior? 
14. La diferencia de medidas de un ángulo interior y exterior de un polígono regular es 90º ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
15. Determina cuántos lados tiene un polígono convexo cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos. 
16. La suma de los ángulos interiores, exteriores y centrales de un polígono regular es 1260º. Calcula el número de lados del polígono. 
17. Determina el número de diagonales de un polígono regular, sabiendo que la medida del ángulo interior es el doble de la medida de un ángulo central. 
18. Si el número de vértices de un polígono regular aumenta en tres, el número de diagonales aumenta en 18. Calcula la medida del ángulo interior del polígono original.
19. ¿Cuánto mide el ángulo central del polígono regular que tiene 170 diagonales? 
20. Si a un polígono regular se le disminuye cinco lados, el número de sus diagonales disminuye en 40. Calcula la medida del ángulo central del polígono original. 
21. Determina cuántos ángulos agudos puede tener como máximo un polígono convexo de n lados. 
22. Al aumentar en 2 el número de lados de un polígono regular la medida de su ángulo externo disminuye en 15º. ¿Cómo se llama el polígono regular? 
23. Si el número de lados de un polígono aumenta en 3, el número total de diagonales se cuadruplica. Halla el polígono final. 
24. En que polígonos al sumar el número de diagonales más el número de lados se obtiene 21. 
25. Alrededor de una ciudad hay 20 torres y entre cada dos torres hay una línea de alta tensión. ¿Cuántas líneas hay? 
26. Si se prolongan los lados de un pentágono regular ¿Cuánto medirá el ángulo convexo de esta estrella de 5 puntas?