Plígonos

Polígono Regular

Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:

• triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
• cuadrado: polígono regular de 4 lados,
• pentágono regular: polígono regular de 5,
• hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
• heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
• octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.

Ángulo interior El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula: (n-2) × 180° / n Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es: (8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135° Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°

Ángulo exterior

Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°.

Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interior

El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45°

El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es180°-120° = 60°

Diagonales

Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales (líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados).

El número de diagonales es n(n - 3) / 2.

Ejemplos:

• un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonales
• un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales

(Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).

En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360.

 EJERCICIOS RESUELTOS:

 EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales? 
2. El doble del perímetro de un polígono equivale numéricamente a la cantidad total de diagonales que se puede trazar. Si cada lado del polígono mide 1,75cm ¿Cuántos lados tiene el polígono? 
3. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados, más el número de ángulos internos, más el número de diagonales trazadas desde un vértice, es 15? 
4. ¿Cuántos lados tiene el polígono donde el número de lados excede en 2 al número de diagonales? 
5. En un polígono regular se cumple que la suma de medidas de los ángulos interiores es 6 veces la medida de un ángulo interior. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
6. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados más la mitad del número de vértices es igual al número de diagonales? 
7. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el que la suma de los ángulos internos es 8 veces la suma de los ángulos externos? 
8. Cinco ángulos de un hexágono miden 120º, 130º, 140º, 150º y 160º. Halla la medida del sexto ángulo. 
9. Calcula el número de diagonales de un polígono regular, sabiendo que la medida de cada ángulo externo equivale a un tercio de la medida de un ángulo interno.
10. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono convexo cuya suma de sus ángulos interiores es 3600º? 
11. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuyo número de diagonales es el quíntuple del número de sus vértices? 
12. ¿En qué polígono regular se cumple que la medida del ángulo exterior es el doble de la del ángulo interior? 
13. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular si la medida de su ángulo central es la mitad de la medida de su ángulo interior? 
14. La diferencia de medidas de un ángulo interior y exterior de un polígono regular es 90º ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
15. Determina cuántos lados tiene un polígono convexo cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos. 
16. La suma de los ángulos interiores, exteriores y centrales de un polígono regular es 1260º. Calcula el número de lados del polígono. 
17. Determina el número de diagonales de un polígono regular, sabiendo que la medida del ángulo interior es el doble de la medida de un ángulo central. 
18. Si el número de vértices de un polígono regular aumenta en tres, el número de diagonales aumenta en 18. Calcula la medida del ángulo interior del polígono original.
19. ¿Cuánto mide el ángulo central del polígono regular que tiene 170 diagonales? 
20. Si a un polígono regular se le disminuye cinco lados, el número de sus diagonales disminuye en 40. Calcula la medida del ángulo central del polígono original. 
21. Determina cuántos ángulos agudos puede tener como máximo un polígono convexo de n lados. 
22. Al aumentar en 2 el número de lados de un polígono regular la medida de su ángulo externo disminuye en 15º. ¿Cómo se llama el polígono regular? 
23. Si el número de lados de un polígono aumenta en 3, el número total de diagonales se cuadruplica. Halla el polígono final. 
24. En que polígonos al sumar el número de diagonales más el número de lados se obtiene 21. 
25. Alrededor de una ciudad hay 20 torres y entre cada dos torres hay una línea de alta tensión. ¿Cuántas líneas hay? 
26. Si se prolongan los lados de un pentágono regular ¿Cuánto medirá el ángulo convexo de esta estrella de 5 puntas? 

ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS Y PERPENDICULARES

ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS

A) Dos ángulos de lados paralelos, los dos agudos o los dos obtusos, son iguales.

Los ángulos AOB y A’O’B’ tienen sus lados paralelos (los lados OA y O’A’ son paralelos entre sí, como también lo son OB y O’B’). Los dos ángulos son obtusos y vemos que son iguales.

B) Si los lados de ambos ángulos, uno obtuso y otro agudo tiene sus lados paralelos (OA paralelo con O’A’, OB paralelo con O’B’) son suplementarios.

Si sumas ambos ángulos comprobarás que el resultado es de 180º, es decir, son suplementarios.

ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

Igual que en el caso anterior, podemos considerar que los ángulos sean los dos obtusos o los dos agudos y que uno sea obtuso y el otro agudo o viceversa.

A) En el caso de que ambos ángulos sean agudos o ambos obtusos y sus lados perpendiculares tienen el mismo valor.

Observa que los lados de ambos ángulos son perpendiculares entre sí; el lado OA es perpendicular al lado O’A’ y el OB es perpendicular al lado O’B’. Vemos que cuando se dan las condiciones anteriores, los ángulos son IGUALES (en el ejemplo, 30º).

B) Si los lados de ambos ángulos, uno agudo y el otro obtuso son perpendiculares, los ángulos son suplementarios:

Los lados OA y O’A’ son perpendiculares lo mismo que OB con relación a O’B’ y los ángulos que forman los lados a los que acabamos de hacer referencia, son suplementarios: 31º + 149º = 180º

EJERCICIOS:

RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

1. Rectas paralelas
Se denominan a aquellas rectas ubicadas en el mismo
plano y que no tienen puntos comunes.

2. Ángulos formados por dos rectas paralelas y una
transversal
      a. Ángulos alternos internos

b. Ángulos conjugados internos

c. Ángulos correspondientes
Son ángulos de igual medida.

Teoremas

PROBLEMAS RESUELTOS:

PRACTICA:

ÁNGULOS

Definición
El ángulo es la reunión de dos rayos que tienen el mismo
origen llamado vértice del ángulo y los rayos son los lados.
Además sus lados no están ubicados en una misma línea
recta.
• Elementos del ángulo















• Bisectriz de un ángulo
Es aquel rayo ubicado en el interior del ángulo, cuyo
origen es el vértice de dicho ángulo y que forma con
sus lados, ángulos de igual medida.

Clasificación de ángulos
I. Según sus medidas
1. Ángulo agudo: Es aquel ángulo cuya medida
es mayor de 0° y menor que 90°.

2. Ángulo recto: Es aquel ángulo cuya medida
es de 90°.











3. Ángulo obtuso: Es aquel ángulo cuya medida

es mayor que 90° y menor que 180°.

II. Según la posición de sus lados
1. Ángulos adyacentes: Son aquellos que
tienen un lado común y están situados a
distinto lado del mencionado lado común.

En la figura los ángulos: AOB y BOC son
adyacentes.
2. Ángulos consecutivos: Se denominan así a
dos o más ángulos que son adyacentes con
su inmediato.

3. Ángulos opuestos por el vértice: Un ángulo
se denomina opuesto por el vértice de otro, si
los lados de éste, son las prolongaciones del
otro.

III. Según la forma de sus medidas
1. Ángulos complementarios: Es cuando las
medidas de dos ángulos suman 90°.

En la figura los ángulos AOB y PQR son
complementarios.
Complemento (C): Es lo que le falta a la
medida del ángulo para ser igual a 90°.





Se lee: El complemento de a es 90º – a.
2. Ángulos suplementarios: Es cuando las
medidas de los dos ángulos suman 180°.

En la figura los ángulos AOB y PQR son
suplementarios.
Suplemento (S): Es lo que le falta a la medida
del ángulo para ser igual a 180°.





Se lee: El suplemento de  es 180º – .




PRACTICA:

Segmentos

Es el conjunto formado por 2 puntos y la porción de recta comprendida entre ellos, los puntos A y B son extremos del segmento.


Longitud y congruencia de segmentos:
Todo segmento tiene una longitud que indica la distancia existente entre sus extremos, ademas se expresa por medio de un número real positivo y una unidad de medida.

Distancia = 5 cm