CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

EJERCICIOS SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DE LA PAGINA 198  A LA 199, DEL LIBRO DE SANTILLANA (DEL 43 AL 62).

LINEAS Y PUNTOS NOTABLES

TEORÍA

PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

Circuncentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C .
Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
De lo anterior, concluímos:

1. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.
2. El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad:

A la vista de los dibujos anteriores, podemos enunciar la siguiente propiedad:

"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Incentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A ) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB , BC y CA..
Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.
De lo anterior, concluímos:

1. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO.
2. El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad :

"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo"

Ortocentro

Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado circuncentro.

Ahora bien, si llamas A , B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A'B' , respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:

1. Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos.
2. La mediatriz del lado A'B' es la perpendicular a A'B' que pasa por su punto medio (C), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C,o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.

Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC.

Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir:

1. Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.
2. Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados.

Propiedad:

"El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto"
"El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Baricentro

Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.

Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará por G.

Propiedad:

"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"

Sin entrar en la demostración, que se sale fuera de los objetivos de este curso, sí que lo veremos gráficamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente.

Se han denotado por A', B', C', los puntos medios de los lados "a "=BC, "b "=AC y "c "=AB, respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto negro sin etiquetar.

A la vista de los anterior, se observa que:

GA = 2GA'	(la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "a"=BC)
GB = 2GB'	(la distancia de Baricentro al vértice B es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "b"=AC )
GC = 2GC'	(la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "c"=AB ) EJERCICIOS PROPUESTOS

PUNTOS NOTABLES

1. Con ayuda de una regla y compás::
1. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.
2. Dibuja dos de sus mediatrices (las que tú quieras).
3. Señala el punto de intersección de ambas.
4. Traza la circunferencia con centro en ese punto y radio la distancia al vértice A.
5. Comprueba que dicha circunferencia pasa por los vértices B y C.

2. Con ayuda de una regla y compás::

1. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.
2. Dibuja dos de sus bisectrices (las que tú quieras).
3. Señala el punto de intersección de ambas.
4. Traza la circunferencia con centro en ese punto y tangente al lado AB.
5. Comprueba que dicha circunferencia también es tangente a los otros dos lados.

3. Con ayuda de regla y compás:

1. Dibuja un triángulo cualquiera.
2. Traza geométricamente dos de las medianas.
3. Señala el punto donde se han cortado ¿cómo se llama ese punto?.
4. Traza la tercera mediana y comprueba que pasa por dicho punto.

4. Con ayuda de una regla y compás::

1. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera ABC.
2. Dibuja dos de sus alturas, tal y como se explicó en la construcción geométrica de la altura.
3. Señala el punto de intersección de ambas. ¿cómo se llama dicho punto?
4. ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo?

5. Con ayuda de regla y compás:

1. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.
2. Traza geométricamenSte el Ortocentro, Baricentro y circuncentro.
3. Dibuja la Recta de Euler.

TRIÁNGULOS

                  PRACTICA

Plígonos

Polígono Regular

Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:

• triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
• cuadrado: polígono regular de 4 lados,
• pentágono regular: polígono regular de 5,
• hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
• heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
• octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.

Ángulo interior El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula: (n-2) × 180° / n Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es: (8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135° Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°

Ángulo exterior

Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°.

Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interior

El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45°

El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es180°-120° = 60°

Diagonales

Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales (líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados).

El número de diagonales es n(n - 3) / 2.

Ejemplos:

• un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonales
• un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales

(Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).

En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360.

 EJERCICIOS RESUELTOS:

 EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales? 
2. El doble del perímetro de un polígono equivale numéricamente a la cantidad total de diagonales que se puede trazar. Si cada lado del polígono mide 1,75cm ¿Cuántos lados tiene el polígono? 
3. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados, más el número de ángulos internos, más el número de diagonales trazadas desde un vértice, es 15? 
4. ¿Cuántos lados tiene el polígono donde el número de lados excede en 2 al número de diagonales? 
5. En un polígono regular se cumple que la suma de medidas de los ángulos interiores es 6 veces la medida de un ángulo interior. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
6. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados más la mitad del número de vértices es igual al número de diagonales? 
7. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el que la suma de los ángulos internos es 8 veces la suma de los ángulos externos? 
8. Cinco ángulos de un hexágono miden 120º, 130º, 140º, 150º y 160º. Halla la medida del sexto ángulo. 
9. Calcula el número de diagonales de un polígono regular, sabiendo que la medida de cada ángulo externo equivale a un tercio de la medida de un ángulo interno.
10. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono convexo cuya suma de sus ángulos interiores es 3600º? 
11. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuyo número de diagonales es el quíntuple del número de sus vértices? 
12. ¿En qué polígono regular se cumple que la medida del ángulo exterior es el doble de la del ángulo interior? 
13. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular si la medida de su ángulo central es la mitad de la medida de su ángulo interior? 
14. La diferencia de medidas de un ángulo interior y exterior de un polígono regular es 90º ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
15. Determina cuántos lados tiene un polígono convexo cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos. 
16. La suma de los ángulos interiores, exteriores y centrales de un polígono regular es 1260º. Calcula el número de lados del polígono. 
17. Determina el número de diagonales de un polígono regular, sabiendo que la medida del ángulo interior es el doble de la medida de un ángulo central. 
18. Si el número de vértices de un polígono regular aumenta en tres, el número de diagonales aumenta en 18. Calcula la medida del ángulo interior del polígono original.
19. ¿Cuánto mide el ángulo central del polígono regular que tiene 170 diagonales? 
20. Si a un polígono regular se le disminuye cinco lados, el número de sus diagonales disminuye en 40. Calcula la medida del ángulo central del polígono original. 
21. Determina cuántos ángulos agudos puede tener como máximo un polígono convexo de n lados. 
22. Al aumentar en 2 el número de lados de un polígono regular la medida de su ángulo externo disminuye en 15º. ¿Cómo se llama el polígono regular? 
23. Si el número de lados de un polígono aumenta en 3, el número total de diagonales se cuadruplica. Halla el polígono final. 
24. En que polígonos al sumar el número de diagonales más el número de lados se obtiene 21. 
25. Alrededor de una ciudad hay 20 torres y entre cada dos torres hay una línea de alta tensión. ¿Cuántas líneas hay? 
26. Si se prolongan los lados de un pentágono regular ¿Cuánto medirá el ángulo convexo de esta estrella de 5 puntas?